RELATIVIDADE GRACELI NA Dispersão de Rutherford NO SDCTIE GRACELI.

I

onde "Q" é um coeficiente de interação e "x" é a distância viajada no alvo.

A equação diferencial ordinária de primeira ordem acima tem soluções da forma:

I=I_{o}e^{-Q\Delta x}=I_{o}e^{-{\frac {\Delta x}{\lambda }}}=I_{o}e^{-\sigma (\eta \Delta x)}=I_{o}e^{-{\frac {\rho \Delta x}{\tau }}},

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde I_o é o fluxo inicial, comprimento de caminho Δx ≡ x − x_o, a segunda igualdade define uma interação de livre caminho médio λ, a terceira usa o número de alvos por unidade de volume, η, para definir uma área de seção de choque σ, e a última usa a densidade de massa do alvo, ρ, para definir uma densidade de livre caminho médio, τ. Dessa forma, podemos relacionar essas quantidades por meio de Q = 1/λ = ησ = ρ/τ, como mostrada na figura à esquerda.

Em espectroscopia de absorção eletromagnética, por exemplo, o coeficiente de interação (ou seja, Q em cm⁻¹) é comumente chamado de opacidade, coeficiente de absorção e coeficiente de atenuação. Em física nuclear, seções de choque (ou seja, σ em barns ou unidades de 10⁻²⁴ cm²), densidade de livre caminho médio (ou seja, τ em gramas/cm²), e seu recíproco, o coeficiente de atenuação de massa (em cm²/gram) ou "área por nucleon" são todos populares, enquanto em microscopia eletrônica o livre caminho médio inelástico ^[1] (ou seja, λ em nanômetros) é frequentemente discutido^[2] ao invés dos outros..

Em física, a dispersão de Rutherford é um fenômeno que foi explicado por Ernest Rutherford em 1909,^[1] e levou ao desenvolvimento da teoria orbital do átomo. É agora explorado pela técnica de análise de materiais espectrometria de dispersão de Rutherford. A dispersão de Rutherford é também referida às vezes como dispersão de Coulomb porque baseia-se em forças eletrostáticas (Coulomb). Um processo similar provou o interior do núcleo nos anos 1960, chamado dispersão profunda inelástica.

Destaques da experiência de Rutherford[editar | editar código-fonte]

Um feixe de partículas alfa é direcionado a uma folha de ouro fina.
Muitas das partículas passaram através da película sem sofrer desvio.
Outras foram desviadas por diversos ângulos.
Algumas inverteram o sentido do movimento.

A partir destes resultados, Rutherford concluiu que a maioria da massa era concentrada numa região minúscula, positivamente carregada (o núcleo), rodeada por electrões. Quando uma partícula alfa (positiva) se aproximava o suficiente do núcleo, era fortemente repelida.^[2] O pequeno tamanho do núcleo explicou a pequena quantidade de partículas alfa que foram repelidas em ângulos maiores. Rutherford demonstrou usando o método abaixo, que o tamanho do núcleo era inferior do que cerca de

\scriptstyle 10^{-14}

Teoria de Dispersão[editar | editar código-fonte]

Geometria de dispersão de Rutherford.

Principais pressupostos:

• Colisão entre uma carga pontual, mais um núcleo pesado com carga Q=Ze é um projétil leve com carga q=ze é considerada como sendo elástica.

• Momento e energia são conservados.

• As partículas interagem através da força de Coulomb.

• A distância vertical onde o projétil se encontra a partir do centro do alvo, o parâmetro de impacto b , determinam o ângulo de dispersão θ.

A relação entre o ângulo de dispersão θ, a energia cinética inicial

E=z{\frac {1}{2}}m.v_{o}^{2}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

e o parâmetro de impacto b é dado pela relação

b={\frac {zZ}{2K}}.{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\text{cot}}{\Bigg (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigg )}

(1.1)

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde z = 2, para partículas-α e Z = 79 de ouro.

Dedução da Transversal Diferencial[editar | editar código-fonte]

Na Figura , uma partícula que atinge o anel entre b e b + db é desviada num ângulo sólido dΩ entre θ e θ + dθ.

Por definição, a secção transversal é a constante de proporcionalidade

2\pi b.db=-\sigma (\theta ).2\pi .\operatorname {sen} \theta .d\theta

então

d\sigma =2\pi b|db|={\Bigg (}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}{\Bigg )}.d\Omega

(1.2)

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde

d\Omega =2\pi .\operatorname {sen} \theta .d\theta

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

A seção transversal diferencial torna-se então

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {2\pi b|db|}{2\pi .\operatorname {sen} \theta .d\theta }}

(1.3)

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

A partir da Equações 1.1 e 1.3 nós temos

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\Bigg (}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\Bigg )}^{2}{\Bigg (}{\frac {qQ}{4K_{\alpha }}}{\Bigg )}^{2}.{\frac {1}{\operatorname {sen} ^{4}}}{\Bigg (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigg )}

(1.4)

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

A Eq.1.4, é chamada seção transversal diferencial para a dispersão de Rutherford.

Nos cálculos acima, considera-se apenas uma única partícula alfa. Num experimento de dispersão, é preciso considerar vários eventos de dispersão e medir-se a fracção de partículas desviadas num determinado ângulo.

Para um detector em um ângulo específico em relação ao feixe incidente, o número de partículas por unidade de superfície, colidindo o detector, é dado pela fórmula de Rutherford:

N(\theta )={\frac {N_{i}.nLZ^{2}k^{2}.e^{4}}{4.r^{2}k.E^{2}\operatorname {sen} ^{2}{\Bigg (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigg )}}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Verificação da fórmula de Rutherford

Onde

Ni = número de partículas alfa incidentes,

n = átomos por unidade de volume no alvo

L = espessura do alvo

Z = número atómico do alvo

e = carga electrónica

k = constante de Coulomb

r = distância entre o alvo e o detector,

KE = energia cinética das partículas alfa

θ = ângulo de dispersão.

A variação prevista, de partículas alfa detectadas, com ângulo é seguida de perto podados do contador de Geiger-Marsden, mostrados na Figura abaixo.

Cálculo do Tamanho Nuclear Máximo[editar | editar código-fonte]

Espalhamento com diferentes parâmetros de impacto.

Para colisões frontais cabeças entre partículas alfa e o núcleo, toda a energia cinética

\scriptstyle E=z{\frac {1}{2}}m.v_{o}^{2}

da partícula alfa é transformada em energia potencial e a partícula está em repouso.

A distância entre o centro da partícula alfa e o centro do núcleo (b) neste momento é um valor máximo para o raio, se é evidente a partir da experiência que as partículas não atingiram o núcleo.

Aplicando a energia potencial de Coulomb entre as cargas nos electrões e no núcleo, pode-se escrever:

{\frac {1}{2}}.m.v^{2}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}.{\frac {q_{1}q_{2}}{b}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Reorganizando,

{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {2.q_{1}q_{2}}{m.v^{2}}}

(1.6)

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Para uma partícula alfa:

$m\;({\text{massa}})=6.7\times 10^{-27}\;kg$
$q_{1}=2\times (1.6\times 10^{-19})C$
$q_{2}\;({\text{para ouro}})=79\times (1.6\times 10^{-19})C$
$v_{\;}({\text{velocidade inicial}})=2\times 10^{7}m/s$

Substituindo estes valores na eqn.1.6, dá o valor do parâmetro de impacto de cerca de

\scriptstyle 2,7\times 10^{14}m

O verdadeiro raio é cerca de

\scriptstyle 7\times 10^{-15}m

Uma colisão de Coulomb é uma colisão elástica binária entre duas partículas carregadas interagindo através de seu próprio campo elétrico. Como com qualquer lei do inverso do quadrado, as trajetórias resultantes das partículas em colisão é uma órbita Kepleriana hiperbólica. Este tipo de colisão é comum em plasmas onde a energia cinética típica das pertículas é grande o suficiente para produzir um desvio significativo das trajetórias iniciais das partículas em colisão, e o efeito cumulativo de muitas colisões é considerado como alternativa.

Tratamento matemático para plasmas[editar | editar código-fonte]

Em um plasma uma colisão de Coulomb raramente resulta em uma grande deflexão. O efeito acumulativo de muitas pequenas colisões, entretanto, é muitas vezes maior que o efeito das poucas colisões de grande ângulo, portanto, é instrutivo considerar a dinâmica da colisão no limite das pequenas deflexões.

Pode-se considerar um elétron de carga -e e massa m_e passando um íon estacionário de carga +Ze e muito maior massa a uma distância b com uma velocidade v. A força perpendicular é (1/4πε₀)Ze²/b² na maior aproximação e a duração do encontro é sobre b/v. O produto destas expressões dividida pela massa é a carga em velocidade perpendicular:

\Delta m_{e}v_{\perp }\approx {\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{vb}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

RELATIVIDADE GRACELI NA Dispersão de Rutherford NO SDCTIE GRACELI.

segunda-feira, 18 de novembro de 2019

Base conceitual[editar | editar código-fonte]

Alvos compostos e equações de alcance[editar | editar código-fonte]

Destaques da experiência de Rutherford[editar | editar código-fonte]

Teoria de Dispersão[editar | editar código-fonte]

Dedução da Transversal Diferencial[editar | editar código-fonte]

Cálculo do Tamanho Nuclear Máximo[editar | editar código-fonte]

Tratamento matemático para plasmas[editar | editar código-fonte]